Análisis y homogeneidad dimensional

Análisis dimensional

El concepto de dimensión se debe a Fourier que, en su obra “Théorie analytique de la chaleur”, dice: “Es necesario hacer notar que cada magnitud, indeterminada o constante, tiene una dimensión que le es propia, y que los términos de una no podrían ser comparados si no tuviesen el mismo exponente de dimensiones”. Es decir, las ecuaciones deben de ser homogéneas dimensionalmente hablando. Esta es la idea que subyace en el fondo de todo el análisis dimensional y es lo que hemos oído alguna vez cuando nos dicen que no se pueden sumar peras con manzanas; aunque esto no es estrictamente cierto, puesto que 3 peras y 2 manzanas son 5 frutas.

El análisis dimensional es un método que permite verificar que las ecuaciones son dimensionalmente compatibles. Del concepto de magnitud, dimensión y homogeneidad de las ecuaciones físicas se ocupa el llamado análisis dimensional.

El análisis dimensional tiene aplicaciones en:

1. Detección de errores de cálculo.
2. Resolución de problemas cuya solución directa conlleva dificultades matemáticas insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Análisis Dimensional junto a Fourier, lo empleo por primera vez en Mecánica de Fluidos.
3. Creación y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los túneles aerodinámicos.
4. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios reales como imaginarios.

Homogeneidad de las ecuaciones físicas.

Las leyes físicas deben de ser invariantes respecto del sistema de unidades elegido. Esta invarianza implica que la función que defina una ley física debe ser homogénea tanto dimensionalmente como matemáticamente hablando.

Homogeneidad dimensional

Diremos que una ley física es dimensionalmente homogénea si todos sus términos (sumandos) tienen la misma dimensión. Como veremos, esto asegura su invarianza respecto del sistema de unidades.

Si los términos de la ecuación $A+B=C$ tienen todos la misma dimensión y cambiamos el sistema de unidades de modo que se duplique la medida de $A$, obteniéndose $A´=2A$, como todos los términos responden a la misma ecuación de dimensiones, también se habrán duplicado $B$ y $C$, pasando a ser $B ´=2B$ y $C ´=2C$, de modo que la ley se seguirá cumpliendo, en el nuevo sistema de unidades.

$$ 2A=2B+2C \Longrightarrow A´=B´+C´ $$ La homogeneidad dimensional implica que los argumentos de las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. deben ser adimensionales.

Ahora tomemos a manera de ejemplo la fórmula de Bernoulli (hidrodinámica)

$$ p+\rho g z + \frac{1}{2} \rho v^2 =C$$

Donde, $p$ es la presión, $\rho$ es la densidad, $g$ es la aceleración de la gravedad, $z$ es la altura y $v$ la velocidad. Ahora realizando el análisis dimensional. (El símbolo [=] se emplea para indicar cuando se realiza un análisis dimensional)

$$ p[=]ML^{-1}T^{-2} $$

$$ \rho g z [=] ML^{-3} \cdot LT^{-2} \cdot L=ML^{-1}T^{-2}$$

$$ \frac{1}{2} \rho v^2 [=] ML^{-3} \cdot (LT^{-1})^2=ML^{-1}T^{-2}$$

Vemos que los tres términos tienen las mismas dimensiones, por lo tanto pueden ser sumados.

Sin embargo, la propiedad más importante de la ecuación de dimensión, es que una vez planteada la misma es inmediata la determinación de las unidades de la propiedad física analizada para el sistema de unidades elegido.

Por ejemplo:

El numero de Prandtl, $N_{Pr}$, es un grupo adimensional importante en los cálculos de transferencia de calor y se define como $ C_p \mu /k $, donde $ C_p $ es la capacidad calorífica del fluido, $ \mu $ es la viscosidad del fluido y $ k $ es la conductividad térmica. Para un fluido dado, $ C_p =0.583 \: J/(g \cdot °C)$, $ k=0.286 \: W/(m \cdot °C) $, y $ \mu = 1936 \: Ibm/(ft \cdot h) $. Estime el valor del numero de Prandtl.

Solución: Para resolver este problema primero debemos tener homogeneidad entre las unidades de los factores que conforman el numero de Prandtl, la solución quedaría de la siguiente manera:

$$ C_p =0.583 \: \frac{J}{g \cdot °C} $$ $$ k=0.286 \: \frac{W}{m \cdot °C} \left ( \frac{1 \: J/s}{1 \: W} \right ) = 0.286 \: \frac{J}{s \cdot m \cdot °C}$$ $$ \mu = 1936 \: \frac{Ibm}{ft \cdot h} \left ( \frac{453.59237 \: g}{1 \: Ibm} \right ) \left ( \frac{1 \: ft}{0.3048 \: m} \right ) \left ( \frac{1 \: h}{3600 \: s} \right ) = 800.3015 \frac{g}{m \cdot s}$$ Ya que tenemos homogeneidad "dimensional", podemos resolver. Para este ejemplo Prandtl es:

$$ N_{Pr}= \frac{C_p \mu }{k} = \frac{ \left ( 0.583 \: \frac{J}{g \cdot °C} \right ) \left ( 800.3015 \: \frac{g}{m \cdot s} \right )}{0.286 \: \frac{J}{s \cdot m \cdot °C}} = 1631.38$$ Y efectivamente las unidades se cancelan. Lo importante de este ejercicio es que observes las unidades, antes de poder resolver el problema, todos los términos deben tener las mismas unidades para poder realizar la operación de forma correcta.

Referencias

• Richard M. Felder, Ronald R. Rousseau (2004). Principios elementales de los procesos químicos, 3Ed - Limusa Wiley.