Análisis de los grados de libertad

Grados de libertad $\left(n_{G.L}\right)$

El procedimiento de análisis de grados de libertad es útil antes de realizar cálculos, esto le permitirá ahorrar esfuerzos y a mejorar su comprensión del problema, debido a que se emplea un diagrama de flujo bien elaborado y marcado para determinar si cuenta con la suficiente información para resolver su balance.

Para realizar un análisis de grados de libertad, primero esquematice el problema mediante un diagrama de flujo, generalmente de bloques, y marquelo en su totalidad con la información que se le proporcione, posteriormente, cuente cuente las variables desconocidas del diagrama y luego cuente las ecuaciones independientes que las relacionan.

Cuando hablamos de ecuaciones independientes nos referimos a las que no pueden ser derivadas de sumar y restar combinaciones de las demás. Por ejemplo: $X=3$, $Y=2$, $X+Y=5$. De estas tres solo 2 son independientes, cualquiera se puede obtener si resolvemos el sistema de ecuaciones.

Ahora reste el numero de variables desconocidas menos el numero de ecuaciones independientes. El resultado es el numero de grados de libertad del proceso.

$$n_{G.L}= n_{incógnitas} - n_{ec. independientes}$$

Existen 3 posibilidades.

1. Si $n_{G.L}=0$, hay $n$ ecuaciones independientes con $n$ incógnitas y el problema, en principio puede resolverse.
2. Si $n_{G.L}>0$, indica que hay mas incógnitas que ecuaciones independientes que las relacionen, por lo menos deben especificarse $n_{G.L}$ valores adicionales antes de poder resolver. Es probable que el problema este subespecificado y tenga una cantidad infinita de soluciones, es probable que hacer cálculos resulte en una perdida de tiempo. O puede que haya olvidado algunas relaciones.
3. Si $n_{G.L}<0$, indica que hay mas ecuaciones independientes que incógnitas. Puede que el problema tenga un exceso de especificaciones con relaciones redundantes y quizás inconsistentes. O probablemente, el diagrama de flujo no este marcado por completo. No tiene caso resolverlo hasta que haya balanceado las ecuaciones y las incógnitas.

Ejemplo

Una columna de destilación es una unidad de proceso en la cual la mezcla de alimentación se separa mediante múltiples vaporizadores y condensaciones parciales para formar dos o mas corrientes de producto. La corriente de producto ligero es rica en los componentes mas volátiles de la mezcla de alimentación (aquellos que se vaporizan con mayor facilidad) y la corriente de producto pesado es rica en los componentes menos volátiles. El siguiente diagrama de flujo muestra una columna de destilación con dos corrientes de alimentación y tres de producto:

1. ¿Cuantos balances de materia independientes pueden escribirse para este sistema?
2. ¿Cuantas velocidades de flujo y/o fracciones molares desconocidas deben especificarse para poder calcular las demás?

Este es el ejercicio 4.6 del libro Principios elementales de los procesos químicos de Felder y colaboradores. Lo utilizaremos como ejemplo ilustrativo para un análisis de grados de libertad.
Primero esquematizamos el problema y escribimos toda la información que poseemos. Y ademas para este ejemplo resaltamos la información que nos hace falta.

Ahora contamos el numero de variables desconocidas del diagrama
Tenemos 7 las cuales son, $m_1$, $m_3$, $m_5$, $x_2$, $y_2$, $y_4$, $z_4$
Ahora contamos el numero de ecuaciones independientes
Podemos formar 4 balances, 1 global y 1 para cada componente (A, B, C). Usted decide cuales tomar. Pero  de estos solo 3 serian ecuaciones independientes.

Ademas tenemos 2 balances independientes para las sumas de fracciones molares.
Los grados de libertad serian:
$$ \left(n_{G.L}\right) = 7 - 3 - 2 = 2 $$ Faltaría especificar 2 variables más.

Referencias

• Richard M. Felder, Ronald R. Rousseau (2004). Principios elementales de los procesos químicos, 3Ed - Limusa Wiley.