Métodos numéricos en ingeniería química

Introducción

Un método numérico es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera aproximada, la solución de ciertos problemas realizando cálculos puramente aritméticos y lógicos (operaciones aritméticas elementales, cálculo de funciones, consulta de una tabla de valores, cálculo preposicional, etc.).

Un método numérico consiste de una lista finita de instrucciones precisas que especifican una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas (algoritmo), que producen o bien una aproximación de la solución del problema (solución numérica) o bien un mensaje. La eficiencia en el cálculo de dicha aproximación depende, en parte, de la facilidad de implementación del algoritmo y de las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (los computadores).

Los métodos numéricos solo dan una aproximación ya que en muchos problemas de la ingeniería no es posible obtener una solución analítica en tales casos debemos usar una aproximación o estimación de los errores. Por ejemplo, ¿podrías despejar el volumen en la ecuación de Van Der Waals y encontrar una solución analítica para un problema dado?

$$\left [ P+a\left(\frac{n}{V}\right)^{2}\right]\left ( \frac{V}{n} -b\right ) = RT$$

Pues para facilitar este tipo de cálculos, en los cuales es difícil o hasta imposible encontrar una solución analítica directa, se emplean los métodos numéricos.

Aproximaciones y errores de redondeo

Entender el concepto de error es importante para utilizar en forma efectiva los métodos numéricos, los dos tipos más comunes son los de truncamiento y de redondeo.

• Error de redondeo: se deben a que la computadora tan solo representa cantidades con números finitos de dígitos.
• Error de truncamiento: es la discrepancia que se introduce por el hecho de que los métodos numéricos pueden usar aproximaciones para representar operaciones o cantidades exactas.

Y por último los errores que no están relacionados al método numérico estos pueden ser equivocaciones, errores de formulación del modelo y la incertidumbre en la obtención de datos.

Cifras significativas

Las cifras significativas de un numero son aquellas que se pueden utilizarse en forma confiable. Se trata del número de dígitos que se ofrecen con certeza más uno estimado. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos:

• Los métodos numéricos dan resultados aproximados, por la tanto se debe desarrollar criterios para especificar qué tan confiables son dichos resultados.
• La omisión de cifras significativas se le conoce como error de redondeo

Por ejemplo, mirando la aguja es posible asegurar que el auto viaja a 49 km/h. Sin embargo, supongamos que alguien desea obtener una cifra decimal, en tal caso podrían decir 48.8 o 48.9 km/h, pero debido a los límites del instrumento solo se emplean con confianza los primeros dos dígitos.

Sería ridículo afirmar, considerando el velocímetro que el automóvil viaja a 48.86421893 km/h.

En contraste el odómetro muestra 6 dígitos confiables, y se concluye que el automóvil ha viajado 87324.5 km  durante su uso, los demás dígitos resultan inciertos.

Exactitud y precisión

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.

La precisión se refiere a que tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniería. El termino error se usa para representar tanto la inexactitud como la imprecisión en las predicciones.

Ejemplo:

Un ejemplo de puntería ilustra los conceptos de exactitud y precisión. a) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preciso; d) exacto y preciso.

La inexactitud también se conoce como sesgo y se define como una desviación sistemática del valor verdadero. La imprecisión (también llamada incertidumbre), por otro lado, se refiere a la magnitud en la dispersión de los disparos.

Definiciones de error

Los errores numéricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemáticas exactas. Estas incluyen los errores de:

• Truncamiento: que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemático exacto.
• Redondeo: que se producen cuando se usan números que tienen un límite de cifras significativas para representar números exactos.

Para ambos tipos de errores, habrá un valor verdadero y uno aproximado cuya diferencia es el error:

$$ V_V=V_A+E_t $$

Valor verdadero = Valor aproximado + Error

Despejando para el error:

$$ E_t=V_V-V_A $$

Se obtiene el valor exacto del error

El subíndice t indica que se trata del error “verdadero” (true).

Componentes de un modelo matemático

Un modelo matemático se define como una formulación o ecuación, que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. Tomando como ejemplo la ecuación para gases ideales, clasificamos cada uno de sus términos de la siguiente manera.

$$P=\frac{nRT}{V}$$

Donde:

P = presión

V = volumen

n = numero de moles

R = constante universal de los gases ideales

P es la variable dependiente la cual refleja el comportamiento o estado de un sistema;

T y V son las variables independientes, las cuales determinan el comportamiento de un sistema;

n es un parámetro, estos reflejan las propiedades o composición del sistema;

R es una función de fuerza, estas son influencias externas que actúan sobre el sistema.

Referencias

• Métodos Numéricos para Ingenieros - Steven Chapra y Raymond Canale (2007) - McGrawHill - Quinta Edición
• Métodos numéricos aplicados a la ingeniería - Antonio Nieves Hurtado (2006) - Compañía Editorial Continental